Codage des nombres réels

I Conversion d’un nombre réel exprimé en base B à virgule fixe en décimal (base 10)

1) Principe

Soit N un nombre réel positif exprimé en base B, il se compose ainsi :

(N)_B = a_n a_n-1 ... a₁ a₀ , b₁ b₂ ... b_m-1 b_m

Sa valeur en décimal est alors donnée par le calcul de :

a_nBⁿ + a_n-1 B^n-1 + ... a₁B + a₀ +b₁B^-1 + b₂B^-2 + ... b_m-1 B^-m+1 + b_mB^-m

2) Exemples :

En base 10 on a 123,45 = 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 ×10⁰ + 4 ×10^-1 + 5 ×10^-2

De même (101,101)₂ = 1×2² + 0 ×2¹ + 1 ×2⁰ + 1 ×2^-1+ 0× 2^-2 + 1 × 2^-3= 4 + 1 + 0,5 + 0,125 =5,625

De même (AB,4E)₁₆ = 10× 16¹ + 11 ×16⁰ + 4 ×16^-1 + 14 ×16^-2

= 160 + 11 + 4× 0,0625 + 14 ×0,00390625

= 171,3046875

II Méthode de conversion d'un nombre décimal réel en base B (virgule fixe)

Pour la partie entière

· Utiliser par exemple la méthode des divisions entières successives

Pour la partie « fractionnaire » à droite de la virgule

• Multiplier la partie fractionnaire par B
• Noter la partie entière obtenue
• Recommencer cette opération avec la partie fractionnaire du résultat et ainsi de suite
• Arrêter quand la partie fractionnaire est nulle ou quand la précision souhaitée est atteinte

(Car on ne peut pas toujours obtenir une conversion en un nombre fini de chiffres pour la partie fractionnaire)

• La partie fractionnaire dans la base B est la concaténation des parties entières obtenues dans l'ordre de leur calcul.

Exemple coder 0,375 puis 0,3 et enfin 5,375 en binaire

0,375×2 = 0,75 0,75×2 = 1,5 0,5×2 = 1,0 Donc 0,375 = (0,011)2

0.3×2=0.6 0.6×2=1.2 0.2×2=0.4 0.4×2=0.8 0.8×2=1.6 0.6×2=1.2 … 0,3 ≈ 0,010011001 à 2^-9 près

Remarque : 0,3 comme de très nombreux réels ne pourra pas être codé de façon exacte sur un nombre fini d’octets.

Conséquences : en programmation (python par exemple). Il ne faudra jamais tester une égalité de réels, mais seulement tester si la différence de deux réels est inférieure à un seuil.

Illustration en python :

0.2+0.1==0.3 >>>False

Par contre : 0.2+0.1-0.3<10^-15 >>>True

III Le codage des réels en binaire à virgule flottante(float)

1) Le principe

Il a pour but de traiter le codage de la virgule et il est inspiré de la notation scientifique en base 10.

715,25=7,1525×10² : notation scientifique

0,00078=7,8×10^-4

De même : 11110,111₂=1,1110111₂×2⁴₁₀

Ou encore 0,111=1,11×2^-1₁₀

De façon générale 1 sera le seul chiffre avant la virgule et une puissance de 2 indiquera le décalage de la virgule.

2) Un exemple de codage d’un nombre réel par caractéristique et mantisse sur deux octets

Ainsi en codant uniquement l’exposant et l’ensemble des chiffres de la partie inférieure à 2, que l’on nommera mantisse, on pourra de façon économique coder de grands nombres ou de très petits.

Il est proposé ici un codage binaire sur 2 octets, où les 8 premiers bits à gauche (en vert souligné) coderont l’exposant nommé caractéristique, (en CA2 pour les négatifs) et les 8 autres bits coderont la mantisse. Ce codage est créé à titre pédagogique, mais n’est pas une norme en vigueur.

XXXXXXXXXXXXXXXX

Caractéristique mantisse

Exposant chiffres

Exemples :

• codage de 30,875₁₀=11110,111₂=1,1110111₂×2⁴₁₀

4₁₀=00000100₂

0000010011110111 sera le codage de 30,875₁₀

• codage de 0,1875₁₀=0,0011₂=1,1×2^-3₁₀

3₁₀=00000011₂

11111100

11111101_ca2= -3

1111110111000000 sera le codage de 0,1875₁₀.

La mantisse à été complétée à droite par des 0.

IV POUR ALLER PLUS LOIN (NON EXIGIBLE)

L’exemple de codage du III2) n’est pas une norme actuellement utilisée en machine, mais les normes en vigueur comme IEEE754 reposent sur les mêmes principes tout en apportant des améliorations techniques.

Le codage machine : codage des réels en virgule flottante : la norme IEEE 754 sur 32 bits.

La norme IEEE 754 (reprise par la norme internationale CEI 60559) spécifie deux formats de nombres en virgule flottante (et deux formats étendus optionnels) et les opérations associées. La quasi-totalité des architectures d'ordinateurs actuelles, y compris IA32, PowerPC, et AMD64, incluent une implémentation matérielle des calculs sur flottants IEEE, directement dans le microprocesseur, garantissant une exécution rapide. Les deux formats fixés par la norme IEEE 754 sont sur 32 bits (« simple précision ») et 64 bits (« double précision »).

La répartition des bits est la suivante, où 1 ≤ M < 2 :

	Encodage	Signe	Exposant E	Mantisse M	Valeur d'un nombre	Précision	Chiffres significatifs
Simple précision	32 bits	1 bit	8 bits	23 bits	(-1)^s×M×2^(E-127)	24 bits	7
Double précision	64 bits	1 bit	11 bits	52 bits	(-1)^s×M×2^(E-1023)	53 bits	16

Le tableau ci-dessus indique les bits représentés. Le premier bit de la mantisse d'un nombre normalisé étant toujours 1, il n'est représenté dans aucun de ces deux formats : on parle de bit implicite. Pour ces deux formats, les précisions sont donc respectivement de 24 et de 53 bits.

Nous allons voir dans cette partie comment appliquer la norme 754 d'abord d'un nombre décimal a un nombre binaire, puis d'un nombre binaire a un nombre décimal. (Nous n’aborderons que le cas des nombres normalisés)

1 - Comment appliquer la norme IEEE754 sur le nombre 238,4375

· La représentation binaire de 238 est : 1110 1110

· La représentation binaire de 0,4375 est 0,0111 = 0*1/2 + 1*1/4 + 1*1/8+ 1*1/16

Dès lors, la représentation binaire de 238,4375 est : 1110 1110,0 111. En normalisant de façon à avoir un seul 1 avant la virgule, on obtient : 1, 110 1110 0111 * 2⁷ (ici nous déplaçons la virgule de 7 rangs)

ATTENTION nous sommes en binaire : 10 en binaire s'écrit 2 en décimale

· L'exposant dans notre cas est 7, codé avec la norme nous allons avoir 7 + 127 = 134 et en binaire 1000 0 110.

· Le nombre est positif donc s = 0.

Nous obtenons alors : 01000011011011100111000000000000. La mantisse étant complétée par des zéros à droite. Nous avons bien : (- 1)⁰ * 2^{(10000110 - 0111 1111)} * (1, 110 1110 0111)

2- Que vaut : 11000111000000001100010100001000 codé selon la norme 754?

· Première lecture : (- 1)¹ * 2^{(10001110 - 0111 1111)} * (1, 0000 0001 1000 1010 0001)

· Le signe : 1 donc négatif

· L'exposant : 10001110 - 01111111 = 1111 => 15 (décimale)

· La mantisse : 1,0000 0001 1000 1010 0001 (d'où sort ce 1 ? c'est la norme qui nous le donne par définition.

Le nombre en binaire sera : -1 * 2⁽¹⁵⁾ * (1,0000 0001 1000 1010 0001), ce qui donne : 1000 0000 1100 0101,0000 1 (en binaire ). Ici nous déplaçons la virgule de 15 rangs. 1000 0000 1100 0101 est converti en décimal par 32 965 (0,00001 est converti en décimal par 1/32 = 0,03125). En décimale nous avons donc : - 32 965, 03125

Se posent encore les cas du 0 et des nombres non normalisés qui font l’objet de convention d’écriture et de codage particulières.